En calcul différentiel à une variable, l'intégrale définie $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$ représente l'aire nette sous une courbe. En passant en trois dimensions, nous étendons cette logique pour déterminer le volume sous une surface $z = f(x, y)$.
1. La définition formelle
Nous définissons l'intégrale double d'une fonction $f$ sur un rectangle fermé $R = [a, b] \times [c, d]$ comme la limite d'une somme double de Riemann :
$$\iint_R f(x, y) \, dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*) \Delta A$$
où $\Delta A = \Delta x \Delta y$ est l'aire d'un sous-rectangle $R_{ij}$, et $(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ est tout point d'échantillonnage à l'intérieur de $R_{ij}$.
1. Partition géométrique : Divisez $R$ en $m \times n$ sous-rectangles $R_{ij}$ où $x_i = a + i\Delta x$ et $y_j = c + j\Delta y$.
2. Approximation solide : Pour chaque $R_{ij}$, construisez une colonne de hauteur $f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$. Le volume $V$ du solide $S$ est approximé par $V \approx \sum \sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A$.
3. La limite : Lorsque la grille devient infiniment fine ($m, n \to \infty$), l'approximation converge vers le volume exact.
2. Théorème de la valeur moyenne
Tout comme la hauteur moyenne en une dimension d'une courbe est $\frac{1}{b-a}\int f(x)dx$, la valeur moyenne d'une surface $z=f(x,y)$ sur une région $R$ est :
$$f_{ave} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y) \, dA$$
Cette valeur $f_{ave}$ représente la hauteur d'une boîte rectangulaire unique ayant pour base $R$ et contenant le même volume que le solide complexe situé sous la surface.